Cosa 200 geht aus

Ist für mich erst mal so nicht schlüssig was du da berichtest.
Aber sehen wir mal. In rot mögliche Empfehlungen zur Fehlersuche

Klärung, was ist Falschluft prinzipiell?

Falschluft äußert sich darin, daß der Motor hochdreht, ohne daß man Gas gibt.
In der Regel ist hier zwischen Vergaser und Brennraum irgendwo eine Dichtung defekt, durch die "falsch" Luft sich zum genau definierten Sprit-Luft-Gemisch hinzugesellt und sozusagen für "Hyperventilation" sorgt.

Mögliche oder unmögliche Haarrisse im Vergaser
Wenn im Vergaser ein Haarriss ist, passiert es eher, daß der Roller zu viel Sprit bekommt und absäuft, sofern der Riss genau zwischen Schwimmerkammer und Vergaser-Hauptluftkanal ist.
Halte ich für eher unwahrscheinlich. Ein Profi würde es bei abmontiertem Luftfilter sehen, ob so ein Haariss irgendwo Benzinlecks verursacht.

Vergaserreinigung mit Ultraschall

Wenn man schon meint, hierin sein Heil suchen zu müssen, muß man danach sicherstellen, daß der Vergaser vor allem innen auch wirklich sauber ist, denn mit dem Ultraschall bekommt man zähe Verharzungen nicht heraus. Düsen reinigt man bei Problemen dann zusätzlich auch mit Düsenreibahlen. Ausserdem ist es danach nötig, alle Dichtungen, Benzinfilter und die gummibestückte Schwimmernadel auszutauschen und zu prüfen, ob das Schwimmernadelventil zuverlässig funktioniert (bleibt die Nadel nämlich in Stellung "Ventil zu" stecken, bekommt die Kiste plötzlich keinen Sprit mehr und geht aus...
-> Klären, ob Schwimmernadelventil einwandfrei funktioniert.



Motor springt zwar an, geht aber nach ein paar Takten/Minuten wieder aus

Das kann auch möglicherweise eine defekte Blackbox (aka "Elektronikzentrale") sein. Darin ist ein Kondensator verbaut. Wenn der einen Hau hat, versagt er den Dienst, sobald er ein wenig warm wird und der Motor geht aus. Kühlt der Kondensator wieder ab, funktioniert er auf einmal wieder. Diese Blackbox ist ein Verschleißteil und geht irgendwann kaputt. Bitte mal ein Bild von der Blackbox am Roller, mal sehen ob es noch die alte ist.
Und die Frage, hat die Werkstatt bei einer Probefahrt diesen Aspekt geklärt? Das ist babyeinfach, sobald der Motor ausgeht, Kerzenstecker abmachen, Zündkabel an Masse halten und einen Startversuch machen - springt hier zwischen Zündkabel und Masse dann kein Funken über, andere, als funktionierend bekannte Blackbox verbauen. Wichtig: auch eine neue Blackbox kann schon defekt sein (besonders Billigteile).
Bei Problemen mit der Blackbox ist auch zu klären, ob nicht Pickup oder Erregerspule einen Schuss haben (geht von aussen mittels Widerstandsmessung)
-> Klären ob Blackbox ok ist
-> Zündgrundplatte grün gegen weiß und rot gegen weiß durchmessen (Widerstand in Ohm)

Die Zündung neu abblitzen am Originalmotor
Du schreibst zwar, daß die Elektrik komplett neu ist, aber was ist mit der Zündanlage?
Warum musste die eingestellt werden, wurde der Motor irgendwie umgebaut? Eine Vespa/Cosa Zündung funktioniert immer, wenn man sie auf die Werksmarkierung setzt, alles andere ist Hokuspokus um dir das Geld aus der Tasche zu ziehen.

Die Besonderheiten der Cosa
...sind der elektrische Benzinhahn und der elektrische Choke. Der Witz daran ist: wenn beide Komponenten keinen Saft bekommen, geht zum einen der magnetventilbetätigte Benzinhahn zu und zum anderen der Choke zwecks starten nicht auf. Bei entsprechenden Problemen bei Cosa (Vespas haben das nicht) ist immer auch dem Bordnetz und der Batterie Augenmerk zu schenken.
Ich weiß ja nicht, in welcher Werkstatt du den Roller hast, aber es sollte eine mit erfahrenen Vespamechanikern sein, die sich auch mit der Cosa auskennen.
-> Bordnetz/Stromversorgung/Batterieladung checken
-> Funktion Benzinhahn sicherstellen
-> Sicherstellen, daß Tankentlüftung frei ist

-> Sicherstellen, daß nirgendwo ein Zusatzbenzinfilter verbaut wurde